Théorème des fonctions implicites
Théorème
Théorème des fonctions implicites :
Soient \(E,F,G\) des espaces de Banach
Soit \(U\) un ouvert de \(E\times F\)
Soit \(f\) \(:U\to G\) de classe \(\mathcal C^1\)
On suppose qu'il existe \((a,b)\in U\) tel que \(f(a,b)=0\) et \(d_2f(a,b)\) est un isomorphisme de \(F\) dans \(G\)
Alors il existe \(V_a\in\mathcal V(a)\) ouvert, \(W_b\in\mathcal V(b)\) ouvert et \(\phi\) \(:V_a\to V_b\) de classe \(\mathcal C^1\) telle que $$\forall (x,y)\in V_a\times V_b,\quad f(x,y)=0\iff y=\phi(x)$$
Remarque :
Pour \(\phi\) du théorème des fonctions implicites, on a : $${{d_2f\in\operatorname{Isom} }}\implies{{ y\in\phi(x)}}$$
Remarque :
Pour \(\phi\) du théorème des fonctions implicites, on a : $${{d_1f\in\operatorname{Isom} }}\implies{{ x\in\phi(y)}}$$
Corollaires
Proposition :
Si on a les hypothèses du théorème des fonctions implicites, on a : $$\forall x\in W_a,\forall h\in E,\quad {{d\phi(x)(h)}}={{-d_2f(x,\phi(x))^{-1}\circ d_1f(x,\phi(x))(h)}}$$
Démonstration en exercice : différentier \(f(x,\phi(x))\)
Proposition :
$${{\text{théorème des fonctions implicites} }}\iff{{\text{théorème des inversions locales} }}$$
(
Théorème d'inversion locale)
